GIVE UP
Give up的意思是认输、停止努力。
比如某宅男看到女神躺在高富帅的怀里，就留下一句“祝你幸福”转身走开，这就叫give her up。
ABANDON
Abandon的意思是彻底放弃，不再关心，特指停止对某人的照顾、支持。比如：
His mother had abandoned him at an early age.
他在幼年就被母亲遗弃。
还可以指离开、废弃某地或某物，比如：
He decided not to abandon his Chicago residence.
他决定不搬离在芝加哥的住宅。
DESERT
形容逃兵等可耻的放弃行为时，会用到一个比abandon更具有贬义的单词：desert。它指不忠诚、不负责任地抛弃。例如：
He deserted his wife and daughter.
他抛弃妻女。
此外，desert还有“在对方需要的时候辜负某人”的意思。这种用法中，desert的主语是某种能力，不用人做主语。比如：
His luck deserted him.
运气没有眷顾他。
最后，desert在做名词时是沙漠的意思，它在做动词时可以表示离开某地让它荒凉。比如：
The tourists have deserted the beaches.
游客们离开了沙滩。
FORSAKE
Forsake是指对亲密关系中断、弃绝。例如：
He forsook his wife for a career.
他为了职业生涯抛弃了妻子。
也可以指放弃某种价值观或兴趣，如：
I will not forsake my ideals.
我不会放弃我的理想。
总结
Give up指放弃努力、投降;abandon强调不再关心或支持;desert的指责意味更强;forsake用于对亲密关系的放弃。